Тензор что это такое


Краткое введение в тензоры

В заметке Магия тензорной алгебры было дано очень неплохое введение в математику тензоров. Но, как мне кажется, этот текст все-равно несколько сложен для понимания. В нем не до конца понятно, что же это такое тензор и зачем он вообще нужен. Сейчас я попытаюсь дать совсем простое введение в тензоры. Я не претендую на математическую строгость, поэтому некоторые термины могут употребляться не совсем корректно.

Откуда появился термин тензор
Насколько я помню, термин тензор происходит от латинского tensus или английского слова tension — напряжение. Термин возник в процессе осмысления следующей задачи. Пусть нам дано некоторое твердое тело произвольной формы в трехмерном пространстве. К разным концам тела приложены некоторые силы. Как описать возникающие напряжения в некотором сечении этого тела? Ответ на эту задачу — напряжения описываются тензорным полем. Но для понимания этого ответа давайте рассмотрим более простые задачи.
Тензор нулевого ранга
Пусть нам дан в трехмерном пространстве однородный кубик. Давайте его начнем нагревать с какой-либо стороны. Теперь зафиксируем какой-либо момент времени и попробуем описать значения температуры в каждой точке кубика.

Температура — это скаляр, нам нужно только одно число. Введем произвольную систему координат. В рамках этой системы координат температура будет описываться как скалярная функция от (x, y, z).

А давайте теперь возьмем другую систему координат. Что изменится? А ничего! Температура в каждой точке пространства осталась таким же скаляром и при смене системы координат не поменялась. Вот уже интересно! Мы получили некоторый математический объект, скаляр, который не изменяется при смене системы координат. Назовем его тензором нулевого ранга. Идем дальше. (Уточнение из комментариев: координаты точек изменятся, но температура в этих точках от поворота системы координат не изменится. Именно температура и есть тензор ранга (0,0))
Тензор первого ранга
Итак, мы нагрели наш однородный кубик. Под действием температуры молекулы какого-либо вещества в нем начали как-то двигаться. Опять зафиксируем какой-либо момент времени и попробуем описать значения скоростей молекул в каждой точке кубика.

Скорость — это вектор. Введем произвольную систему координат. В рамках этой системы скорости в каждой точке пространства будут описываться как векторные функции от (x, y, z). А давайте теперь возьмем другую систему координат? Что изменится? Давайте рассуждать.

Векторное поле скоростей в кубике не изменилось, оно осталось таким же, мы просто взяли другую линейку (другую систему координат) для измерения скоростей. Но изменились компоненты этого вектора. Зная старую и новую систему координат, закон изменения компонент вектора несложно вывести. Таким образом, мы получили математический объект, вектор, который опять же не изменяется при смене системы координат, но изменяются его компоненты, причем по заранее определенному закону. Это тензор первого ранга. Теперь начинается самое интересное.
Тензор второго ранга
Мы нагрели наш кубик, молекулы начали двигаться. Но представим теперь, что наш кубик перестал быть однородным. Он теперь пористый, внутри состоит из разных каналов с разной ориентацией. Скорость движения молекулы вдоль канала гораздо больше, чем скорость движения поперек канала. Как нам описать такую неоднородную среду? Зафиксируем какой-либо момент времени, возьмем одну молекулу со своим вектором скорости. Вопрос, как этот вектор скорости изменится в следующий момент времени? Если молекула попала в канал и вектор ее скорости направлен вдоль канала, то скорость не изменится, если вектор направлен поперек канала, то уменьшится в несколько раз, а если под углом, то вектор скорости вообще изменит свое направление. Это очень похоже на то, что в каждой точке кубика задано нечто, что умеет поворачивать и масштабировать вектора. Да, да, это матрица! Но не произвольная, а специальная, которая не уничтожает вектора, а преобразовывает. Хорошо, а что будет с нашей матрицей, если мы возьмем другую систему координат, что изменится? Конфигурация каналов в кубике осталась такой же, и эта матрица должна поворачивать вектора скоростей точно таким же образом. Да, компоненты этой матрицы изменятся, но само ее действие на вектора останется таким же. Таким образом, мы опять же имеем математический объект, матрицу специального вида, действие которой на вектор не зависит от смены системы координат, а ее компоненты пересчитываются по определенному закону. Назовем его тензором второго ранга.
Так что же такое тензор?
Итак, тензор это математический объект, который как объект не зависит от смены системы координат, но его компоненты при смене системы координат преобразуются по определенному математическому закону. В трехмерном пространстве тензор второго ранга проще всего представить как матрицу, заданную в каждой точке пространства, которая описывает неоднородность этого пространства и действует на входящий вектор, изменяя его направление и масштаб. Теги:

habr.com

Магия тензорной алгебры: Часть 1 — что такое тензор и для чего он нужен?

Введение

Это было очень давно, когда я учился классе в десятом. Среди довольно скудного в научном плане фонда районной библиотеки мне попалась книга — Угаров В. А. «Специальная теория относительности». Эта тема интересовала меня в то время, но информации школьных учебников и справочников было явно недостаточно.

Однако, книгу эту я читать не смог, по той причине, что большинство уравнений представлялись там в виде тензорных соотношений. Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Погружение в специальную литературу не приносило просветления. Технарю достаточно тяжело переварить строгий абстрактный язык чистой математики. Тем не менее, от случая к случаю я возвращался к этому вопросу, и вот спустя почти шестнадцать лет наступило просветление, о чем и будет рассказано под катом. Возможно, мои рассуждения покажутся примитивными и упрощенными, но понимание любой сложной вещи принято разворачивать от процесса оперирования простыми понятиями, поэтому начнем.

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь между ними

Рассмотрим вектор, и без потери общности наших рассуждений, рассмотрим вектор заданный на плоскости. Как известно из курса ещё школьной геометрии, любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов

Здесь — коэффициенты разложения, (под верхним индексом следует понимать именно номер компоненты, а не возвдение в степень), называемые контрвариантные координаты вектора . Геометрически это можно изобразить так, как показано на рисунке ниже. Векторы называют базисными, угол между ними, при условии , может быть произвольным, произвольна так же ненулевая длина базисных векторов. Указанный базис задает косоугольную систему координат на плоскости, с осями .

Исходя из чертежа длины отрезков и равны

Однако, это не единственный способ определить вектор в данной системе координат. Его можно так же задать ортогональными проекциями на оси . Нетрудно видеть, что эти проекции равны

С другой стороны, выразим длины этих проекций через длины базисных векторов таким образом

где и — ковариантные координаты вектора .

Сравниваем (3), (5) и (4), (6)

Умножим (7) на , а (8) на и преобразуем их

Введем матрицу

тогда (9) и (10) можно выразить следующим соотношением

Выражение (12) дает связь между ковариантными и контрaвариантными координатами вектора, определяемую лишь видом матрицы , зависящей от длин взаимного расположения базисных векторов. Пока никак не будем интерпретировать полученный результат, а просто запомним его.

Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контравариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом

а в ковариантной форме — матрицей-строкой

2. Скалярное произведение векторов

Перейдем к пространству более высокой размерности и рассмотрим два вектора

где базисные векторы , как и выше, ненулевые некомпланарные векторы. Перемножим векторы скалярно.

В последнем выражении аккуратно раскроем скобки

и снова введем матрицу

и тогда скалярное произведение можно свернуть весьма компактным образом

Первое, что можно заметить, при уменьшении числа измерений пространства мы перейдем от (14) к (11) а выражение (15) будет работать и давать склярное произведение векторов, но уже на плоскости. То есть мы получили некую обобщающую форму записи операции скалярного умножения, не зависящую ни от размерности пространства, ни от рассматриваемого базиса, все свойства которого обраны в матрице . Внимательно взглянув на (15) мы поймем ещё одну вещь

что есть ничто иное как ковариантные координаты вектора . То есть, (15) можно переписать

Но и это не предел упрощения

3. Правило Эйнштейна

Хитный и проницательный Альберт Эйнштейн придумал правило суммирования, в выражениях подобных (17), избавляющее математика от надоедливой и избыточной . В выражениях (16) и (17) можно опустить знак суммы, подразумевая суммирование по повторяющемуся индексу, который называют «немым». То есть, (16) переписываем так

здесь j — индекс, по которому происходит суммирование. По правилу, этот индекс должен чередовать свое положение — если у первого множителя он внизу, то у второго должен быть вверху и наоборот. Выражение (17) будет выглядеть так

Ну а (15) придет к виду

А теперь мы посмотрим, для чего надо было городить такой огород.

4. Анализ на простых примерах

Допустим, что наш базис — декартов, то есть ортонормированый. Тогда, матрица становится единичной

Пусть вектор задан в таком базисе. Квадрат длины вектора, как известно, это скалярное произведение этого вектора самого на себя, то есть

И мы получили… квадрат длины вектора, заданного в прямоугольной системе координат!

Ещё пример, дабы не загроможнать который, будем работать в двух измерениях. Пусть система координат подобна той, что изображена на рисунке из параграфа 1, и в ней задан вектор своими контравариантными rоординатами. Тогда

где — угол между векторами базиса. Вычислим длину вектора

Ровно такой же результат мы получим, если воспользуемся теоремой косинусов и найдем квадрат длины диагонали параллелограмма.

Что получается? Работая в разных системах координат, мы использовали одну единственную формулу (20) для вычисления скалярного произведения. И её вид совершенно не зависит ни от базиса, ни от числе измерений пространства, в котором мы работаем. Базисом определяются лишь конкретные значения компонент матрицы .

Так вот, уравнение (20) выражает скалярное произведение двух векторов в тензорной, то есть независимой от выбранного базиса форме.

Матрица задает так называемый метрический тензор. Её вид определяет каким образом в выбранных координатах вычисляется расстояние между двумя точками.

Но почему мы называем эту матрицу тензором? Следует понимать, что математическая форма, в данном случае квадратная матрица, содержащая набор компонент, это ещё не тензор. Понятие тензора несколько шире, и прежде чем мы скажем, что такое тензор, мы рассмотрим ещё один вопрос.

5. Преобразование метрического тензора при смене базиса

Перепишем соотношение (20) в матричной форме, так нам будет легче оперировать им

где c — скалярное произведение векторов. Верхний индекс несет смысл системы координат, в которой заданы векторы и определен метрический тензор. Скажем это система координат СК0. Преобразование вектора к некоторой другой системе координат СК1 описывается матрицей преобразования , то есть

Подставим (22) в (21)

в последнем выражении

метрический тензор, компоненты которого определяются новым базисом. То есть, в новом базисе операция имеет аналогичную форму

Тем самым мы показали ещё одно свойство тензора — его компоненты меняются синхронно с компонентами векторов того пространства, в котором определен тензор. То есть теперь мы можем сказать, что тензор — это математический объект, представленный набором компонент и правилом их преобразования при смене базиса.

Теперь, используя правило Эйнштейна, перепишем (22) и (23) в тензорной форме

где — элементы матрицы . Проиллюстрируем (25) на трехмерном примере. Пусть матрица преобразования координат имеет вид

Распишем преобразование компонента метрического тензора, выполняя суммирование по немым индексам k и l в (25)

откуда видно что в (25) выполняется транспонирование матрицы перехода, умножение результата на метрический тензор и умножение полученной матрицы на матрицу перехода.

Теперь рассмотрим конкретный пример, на плоскости, чтобы не писать излишне громоздких выкладок

Пусть вектор задан в двух нормированных базисах: прямоугольном и косоугольном . Преобразование из косоугольной системы координат в прямоугольную выражается матрицей

обратное преобразование

Пусть также, в прямоугольных координатах наш вектор имеет компоненты

и совсем нетрудно увидеть, что длина его . Метрический тензор в ортонормированном базисе представляется единичной матрицей

значит

Зададим угол наклона осей и вычислим контравариантные компоненты вектора в косоугольных осях

Вместе с вектором необходимо преобразовать и метрический тензор

Ну а теперь вычислим длину вектора в новом базисе

то есть

и скалярное произведение и длина вектора инвариантны, то есть неизменны при преобразовании координат, а так и должно быть. При этом, мы использовали по сути одно и то же соотношение (20) для работы в разных базисах, предварительно преобразовав метрический тензор в соответствии с правилом преобразования векторов в рассматриваемых пространствах (25).

Заключение и выводы

Что мы увидели в предыдущем параграфе? Если свойства пространства, в котором заданы векторы известны, то для нас не составляет труда выполнить, строго формальным образом, действия над векторами, используя соотношения, вид которых от формы пространства независим. Причем соотношения (20), (24) и (25) дают нам и алгоритм вычисления и способ преобразования компонент выражений, используемых алгоритмом. В этом — мощь и сила тензорного подхода. Многие физические теории, например ОТО, оперируют искривленным пространством-временем, и там другой подход просто неприемлем. В искривленном пространстве-времени метрический тензор задан локально, в каждой его точке, и если попытаться обойтись без тензоров, у нас ничего не выйдет — мы получим громоздкие и неповоротливые уравнения, если получим их вообще. В прикладных областях науки тензорная запись выражений применима там, где требуется получать уравнения, независимые от используемой системы координат. Но это ещё не всё. Мы не поговорили о свойствах метрического тензора, не рассмотрели векторное произведение и тензор Леви-Чевиты. Не поговорили о ранге тензоров и операциях с ними, не разобрались до конца с правилами индексации компонент тензоров и о многом другом. Об этом будет написано несколько позднее, а пока — спасибо всем моим читателям за внимание.

Продолжение следует...

habr.com

Тензор - это... Что такое Тензор?

  • ТЕНЗОР — абстрактный объект Т, имеющий определ. систему компонент в каждой рассматриваемой системе координат, такой, что при преобразовании координат его компоненты преобразуются по вполне определ. закону. Каждая точка x n мерного пространства задаётся в… …   Физическая энциклопедия

  • тензор — аксиатор; гексавектор Словарь русских синонимов. тензор сущ., кол во синонимов: 2 • аффинор (1) • …   Словарь синонимов

  • ТЕНЗОР — [тэ ], а, муж. В математике: упорядоченное в виде строки, матрицы, параллелепипеда множество каких н. математических элементов. Т. деформации. | прил. тензорный, ая, ое. Тензорное исчисление. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова.… …   Толковый словарь Ожегова

  • тензор — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN tensor …   Справочник технического переводчика

  • Тензор — У этого термина существуют и другие значения, см. Тензор (компания). Тензор (от лат. tensus, «напряженный»)  объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями… …   Википедия

  • Тензор — [tensor] математический термин, появившийся в середине XIX в. и с тех пор применяемый в двух разных смыслах. Наибольшее распространение термин «тензор» получил в современном тензорном исчислении, где это название присваиваивается особого рода… …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • ТЕНЗОР — в математике величина, обладающая компонентами в каждой из заданного множества систем координат, причем компоненты при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по определенному закону. Тензорное исчисление, или абсолютное… …   Энциклопедия Кольера

  • ТЕНЗОР — на векторном пространстве Vнад нолем k элемент tвекторного пространства где V*=Hom(V, k) пространство, сопряженное с V. Говорят, что тензор tявляется рраз контравариантным и qраз ковариантным или что tимеет тип ( р, q). Число р наз.… …   Математическая энциклопедия

  • тензор — (лат. tendere натягивать, напрягать) мат. величина особого рода (напр., т. напряжений, т. деформации), задаваемая числами и законами их преобразования; является развитием и обобщением вектора и матрицы. Новый словарь иностранных слов. by EdwART …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Тензор —    математический термин, название объекта, частным случаем которого является вектор; в простых случаях изображается матрицей или строкой:    ஐ О тензор! Что я наделал? Зачем я им сказал? О турбулентная пертурбация! Простите! Мне так неприятно.… …   Мир Лема - словарь и путеводитель

  • тензор — а, ч., мат. Багатокомпонентна величина, що характеризується певною поведінкою (трансформаційними властивостями) при перетворенях системи координат. || Узагальнення понять скаляра, вектора. Тензор напруження …   Український тлумачний словник

dic.academic.ru

О компании

Многие вспомнят, что встречали этот не вполне понятный термин в учебнике по физике за 9 класс. Люди, знакомые с математикой, уверенно ответят, что это многомерный вектор.

Продвинутые информатики задвинут что-то умное, вроде: «Это объект в M-размерном пространстве, который имеет N индексов и M в степени N компонент».

Но для нас «Тензор» - это компания, занимающаяся информационными технологиями. Мы не претендуем на титул гениальных математиков, но название «Тензор» нам нравится.

Во-первых, тензор – это вектор.

А наша компания обладает всеми свойствами вектора - мы движемся только вперед. Проще всего это доказать цифрами. Компания возникла в 1996 и легко умещалась в небольшом подвале одного из зданий города Ярославля. На сегодняшний день «Тензор» объединяет уже: 10 офисов в Ярославле, Более 80 филиалов по России, 4000 сотрудников,

Более 1 000 000 абонентов.

Во-вторых, тензор – это многомерный вектор.

У нас есть восемь направлений деятельности, но все они связаны единой логикой - дать компаниям все, что необходимо для их роста и развития.

1. Любой офис начинается с компьютера - мы занимаемся поставками компьютеров и офисной техники. 2. Компьютеры не могут работать без удобного софта - мы разрабатываем и продаем программное обеспечение. 3. Софт бесполезен, если компьютеры не связаны в систему – мы внедряем серверное оборудование и сети. 4. Надежная техническая начинка требуется не только офисам, но и салонам продаж - мы устанавливаем торговое оборудование. 5. Любая техника иногда ломается - мы занимаемся ее ремонтом и обслуживанием. 6. Каждая компания работает с документами и заключает сделки – мы издаем электронно-цифровые подписи. 7. Бизнесу всегда нужно сопровождение – мы занимаемся аудитом и консалтингом. 8. В конечном счете, любая компания это люди – мы подбираем персонал.

Наконец, в-третьих, тензор - это базовое понятие всех точных наук.

Мы тоже привыкли работать основательно и являемся профессионалами в каждом отдельном направлении деятельности. Если повесить все наши сертификаты, статусы, лицензии и благодарности на стену, то площадь этой стены составит 20 м2 :)

tensor.ru

ТЕНЗОР - это... Что такое ТЕНЗОР?

  • ТЕНЗОР — абстрактный объект Т, имеющий определ. систему компонент в каждой рассматриваемой системе координат, такой, что при преобразовании координат его компоненты преобразуются по вполне определ. закону. Каждая точка x n мерного пространства задаётся в… …   Физическая энциклопедия

  • тензор — аксиатор; гексавектор Словарь русских синонимов. тензор сущ., кол во синонимов: 2 • аффинор (1) • …   Словарь синонимов

  • тензор — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN tensor …   Справочник технического переводчика

  • Тензор — У этого термина существуют и другие значения, см. Тензор (компания). Тензор (от лат. tensus, «напряженный»)  объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями… …   Википедия

  • Тензор — [tensor] математический термин, появившийся в середине XIX в. и с тех пор применяемый в двух разных смыслах. Наибольшее распространение термин «тензор» получил в современном тензорном исчислении, где это название присваиваивается особого рода… …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • ТЕНЗОР — в математике величина, обладающая компонентами в каждой из заданного множества систем координат, причем компоненты при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по определенному закону. Тензорное исчисление, или абсолютное… …   Энциклопедия Кольера

  • ТЕНЗОР — на векторном пространстве Vнад нолем k элемент tвекторного пространства где V*=Hom(V, k) пространство, сопряженное с V. Говорят, что тензор tявляется рраз контравариантным и qраз ковариантным или что tимеет тип ( р, q). Число р наз.… …   Математическая энциклопедия

  • тензор — (лат. tendere натягивать, напрягать) мат. величина особого рода (напр., т. напряжений, т. деформации), задаваемая числами и законами их преобразования; является развитием и обобщением вектора и матрицы. Новый словарь иностранных слов. by EdwART …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Тензор —    математический термин, название объекта, частным случаем которого является вектор; в простых случаях изображается матрицей или строкой:    ஐ О тензор! Что я наделал? Зачем я им сказал? О турбулентная пертурбация! Простите! Мне так неприятно.… …   Мир Лема - словарь и путеводитель

  • тензор — а, ч., мат. Багатокомпонентна величина, що характеризується певною поведінкою (трансформаційними властивостями) при перетворенях системи координат. || Узагальнення понять скаляра, вектора. Тензор напруження …   Український тлумачний словник

dic.academic.ru

тензор - это... Что такое тензор?

  • ТЕНЗОР — абстрактный объект Т, имеющий определ. систему компонент в каждой рассматриваемой системе координат, такой, что при преобразовании координат его компоненты преобразуются по вполне определ. закону. Каждая точка x n мерного пространства задаётся в… …   Физическая энциклопедия

  • тензор — аксиатор; гексавектор Словарь русских синонимов. тензор сущ., кол во синонимов: 2 • аффинор (1) • …   Словарь синонимов

  • ТЕНЗОР — [тэ ], а, муж. В математике: упорядоченное в виде строки, матрицы, параллелепипеда множество каких н. математических элементов. Т. деформации. | прил. тензорный, ая, ое. Тензорное исчисление. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова.… …   Толковый словарь Ожегова

  • тензор — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN tensor …   Справочник технического переводчика

  • Тензор — У этого термина существуют и другие значения, см. Тензор (компания). Тензор (от лат. tensus, «напряженный»)  объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями… …   Википедия

  • Тензор — [tensor] математический термин, появившийся в середине XIX в. и с тех пор применяемый в двух разных смыслах. Наибольшее распространение термин «тензор» получил в современном тензорном исчислении, где это название присваиваивается особого рода… …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • ТЕНЗОР — в математике величина, обладающая компонентами в каждой из заданного множества систем координат, причем компоненты при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по определенному закону. Тензорное исчисление, или абсолютное… …   Энциклопедия Кольера

  • ТЕНЗОР — на векторном пространстве Vнад нолем k элемент tвекторного пространства где V*=Hom(V, k) пространство, сопряженное с V. Говорят, что тензор tявляется рраз контравариантным и qраз ковариантным или что tимеет тип ( р, q). Число р наз.… …   Математическая энциклопедия

  • Тензор —    математический термин, название объекта, частным случаем которого является вектор; в простых случаях изображается матрицей или строкой:    ஐ О тензор! Что я наделал? Зачем я им сказал? О турбулентная пертурбация! Простите! Мне так неприятно.… …   Мир Лема - словарь и путеводитель

  • тензор — а, ч., мат. Багатокомпонентна величина, що характеризується певною поведінкою (трансформаційними властивостями) при перетворенях системи координат. || Узагальнення понять скаляра, вектора. Тензор напруження …   Український тлумачний словник

dic.academic.ru


Смотрите также

Календарь

ПНВТСРЧТПТСБВС
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31      

Мы в Соцсетях

 

vklog square facebook 512 twitter icon Livejournal icon
square linkedin 512 20150213095025Одноклассники Blogger.svg rfgoogle