Ломаная с вершинами в узлах сетки что это такое


Метод узлов в задаче B5

5 марта 2012

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок. Это даже не формула, а настоящая теорема. На первый взгляд, она может показаться сложной. Но достаточно решить пару задач — и вы поймете, насколько это крутая фишка. Так что вперед!

Для начала введем новое определение:

Узел координатной стеки — это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.

Обозначение:

На первой картинке узлы вообще не обозначены. На второй обозначены 4 узла. Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.

Какое отношение это имеет к задаче B5? Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки. Как следствие, для них работает следующая теорема:

Теорема. Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки. Тогда площадь многоугольника равна:

где n — число узлов внутри данного многоугольника, k — число узлов, которые лежат на его границе (граничных узлов).

В качестве примера рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные узлы.

На первой картинке дан обычный треугольник. На второй отмечены его внутренние узлы, число которых равно n = 10. На третей картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего k = 6.

Возможно, многим читателям непонятно, как считать числа n и k. Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску.

С граничными узлами чуть сложнее. Граница многоугольника — замкнутая ломаная, которая пересекает координатную сетку во многих точках. Проще всего отметить какую-нибудь «стартовую» точку, а затем обойти остальные.

Граничными узлами будут только те точки на ломаной, в которых одновременно пересекаются три линии:

  1. Собственно, ломаная;
  2. Горизонтальная линия координатной сетки;
  3. Вертикальная линия.

Посмотрим, как все это работает в настоящих задачах.

Задача. Найдите площадь треугольника, если размер клетки равен 1 x 1 см:

Для начала отметим узлы, которые лежат внутри треугольника, а также на его границе:

Получается, что внутренний узел всего один: n = 1. Граничных узлов — целых шесть: три совпадают с вершинами треугольника, а еще три лежат на сторонах. Итого k = 6.

Теперь считаем площадь по формуле:

Вот и все! Задача решена.

Задача. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Снова отмечаем внутренние и граничные узлы. Внутренних узлов всего n = 2. Граничных узлов: k = 7, из которых 4 являются вершинами четырехугольника, а еще 3 лежат на сторонах.

Остается подставить числа n и k в формулу площади:

Обратите внимание на последний пример. Эту задачу реально предлагали на диагностической работе в 2012 году. Если работать по стандартной схеме, придется делать много дополнительных построений. А методом узлов все решается практически устно.

Важное замечание по площадям

Но формула — это еще не все. Давайте немного перепишем формулу, приведя слагаемые в правой части к общему знаменателю. Получим:

Числа n и k — это количество узлов, они всегда целые. Значит, весь числитель тоже целый. Мы делим его на 2, из чего следует важный факт:

Площадь всегда выражается целым числом или дробью. Причем в конце дроби всегда стоит «пять десятых»: 10,5; 17,5 и т.д.

Таким образом, площадь в задаче B5 всегда выражается целым числом или дробью вида ***,5. Если ответ получается другим, значит, где-то допущена ошибка. Помните об этом, когда будете сдавать настоящий ЕГЭ по математике!

Смотрите также:

www.berdov.com

Начертите в тетради ломаную с вершинами в узлах сетки!!! Помогите пожалуйста

Гость ?

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат - это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

online-otvet.ru

Урок математики. 5 класс. Тема: "Ломаная"

Конспект урока математики 5 класс.

Тема « ломаная линия»

Тип урока: урок открытии новых знаний

План урока.

1. Организационный момент – 1 мин.

2. Стадия вызова – 5 мин.

3. Стадия осмысления (самостоятельная работа учащихся с текстом) – 10 мин.

4. Стадия рефлексии (систематизация полученных знаний в таблицу и презентация своего промысла) – 20 мин. (по 3 минуты для каждой группы)

5. Подведение итогов, оценивание и инструктаж по заданию на дом – 4 мин.

Цели урока:

1) познакомить учащихся с основными понятиями по теме: видами линий, способами определения их длины; провести первичное закрепление умений строить линии различных видов и находить их длину;

2) развивать внимание, память, мышление через использование визуальных методов обучения, создание проблемных ситуаций;

формировать информационную и технологическую компетентности учащихся через использование информационных технологий и компетентностно - ориентированной технологии РКМЧП (развитие критического мышления через чтение и письмо), коммуникативную компетентность через организацию работы в группах, парах;

совершенствовать навыки самоконтроля, самоанализа, владение предметной терминологией;

формировать у учащихся универсальные учебные действия;

3) воспитывать в учащихся интерес к исследовательской работе, умение сотрудничать, трудолюбие.

2. Оборудование урока:

  • Раздаточный материал: листы с лабиринтами, проволока .

1.Организационный момент

2. Стадия вызова (цель: активизировать, заинтересовать учащихся, «вызвать» уже имеющиеся у них знания по теме «Линии. Ломаная. Длина линий»). Предлагает учащимся на заранее приготовленных листах обвести карандашом свою ладошку, как делали многим в детстве мамы. Вопрос: Что вы видите на рисунке? С помощью какой геометрической фигуры сделан рисунок?

Затем, на обратной стороне листа предлагает пройти по лабиринту, начертить с помощью линейки свой путь. Вопрос:

С помощью какой геометрической фигуры сделан рисунок?

Где еще вы встречаетесь с линиями? Какие они бывают? (Предполагаемый ответ: кривыми , прямыми, ломаными).Учитель подводит учащихся к осознанию темы и целей урока. Учащиеся с помощью учитель формулируют тему и цели урока, записывают тему урока в тетради.

3. Стадия осмысления.

Работа учащихся парах с текстовым и иллюстративным материалом. (Приложение)

1) инструктаж по работе с печатным материалом, ,

3) изучение текста; Задани различны по рядам.

1 ряд.карточки. Построить в тетради незамкнутую ломаную линию. Объяснить почему она называется незамкнута. Назвать ее разными способами. Указать вершины ломаной, звенья ломаной. 2 ряд-замкнутая, 3 ряд самопересекающуюся.

Выступление по одной из пар от ряда.

* Физкультурная пауза: разминка, упражнения для снятия усталости глаз.

Тренировочные упражнения.

№103. построить разные виды ломагых

2) Можно ли измерить ломаную? (Предполагаемый ответ: можно, линейкой измерить каждое звено и длины сложить)

Учитель предлагает измерить длины ломаных, нарисованных в лабиринтах.

Измерения озвучиваются несколькими учащимися.

С учебником №107, 108б с классом, а сам. самопроверка х+2х+х-6

4. Графический диктант. (систематизация полученных знаний). Задача1. Постройте ломаную по следующему описанию:

1) в узле квадратной сетки отметьте точку А,

2) отсчитайте от А 7 клеток вправо и 2 вниз, поставьте точку В,

3) от точки В 5 влево и 3 вниз, отметьте точку С,

4) от точки С 3 вправо и 6 вверх, отметьте точку О.

соедините точки по линейке в том порядке, в каком вы их строили. Назовите ломаную. Из скольких звеньев она состоит? Найдите ее длину

Начертите в тетради какую-либо ломаную с вершинами в узлах сетки и «продиктуйте» ее соседу по парте. Выполнив упражнение, соседи обмениваются тетрадями и проверяют друг у друга.

Первичный контроль. Опишите линии терминами, с которыми сегодня познакомились.

На доске рисунки разных линий ломаных и кривых

5. Подведение итогов и задание на дом. Учитель озвучивает и комментирует оценки.

Инструктаж по домашнему заданию. №109,с.36 к/з

Предлагает с помощью рук, показать:

1)замкнутую линию, кому было комфортно и всё понятно,

2)у кого ещё есть проблемы - незамкнутую линию.

infourok.ru

Упражнение 15 Постройте параллелограмм, тремя вершинами которого являются точки A, B, C, а вершина D находится в узле сетки. Сколько решений имеет задача? - презентация

1 Упражнение 15 Постройте параллелограмм, тремя вершинами которого являются точки A, B, C, а вершина D находится в узле сетки. Сколько решений имеет задача? Ответ: Задача имеет три решения. Искомыми параллелограммами являются ABCD 1, ABCD 2, ACBD 3.

2 Упражнение 16 Постройте прямоугольник, диагональю которого является отрезок AC, а вершины B и D находятся в узлах сетки. Сколько решений имеет задача? Ответ: Задача имеет три решения. Искомыми прямоугольниками являются AB 1 СD 1, AB 2 СD 2, AB 3 СD 3.

3 Упражнение 17 Постройте параллелограмм, Серединами сторон которого являются точки E, F, G, H.

4 Упражнение 18 Постройте трапецию, двумя вершинами которой являются точки A и C, а средней линией – отрезок EF.

5 Упражнение 19 Нарисуйте высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B. Найдите ее длину. Ответ:.

6 Упражнение 20 На рисунке изображена простая замкнутая ломаная. Какой области, по отношению к этой ломаной, принадлежит точка A – внутренней или внешней? Ответ: Точка A принадлежит внутренней области.

www.myshared.ru


Смотрите также

Календарь

ПНВТСРЧТПТСБВС
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31      

Мы в Соцсетях

 

vklog square facebook 512 twitter icon Livejournal icon
square linkedin 512 20150213095025Одноклассники Blogger.svg rfgoogle